Унитарный оператор - определение. Что такое Унитарный оператор
Diclib.com
Словарь ChatGPT
Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

  • как употребляется слово
  • частота употребления
  • используется оно чаще в устной или письменной речи
  • варианты перевода слова
  • примеры употребления (несколько фраз с переводом)
  • этимология

Что (кто) такое Унитарный оператор - определение

Унитарное преобразование; Унитарный элемент; Унитарные преобразования

Унитарный оператор         

обобщение понятия вращения евклидова пространства на бесконечномерный случай. Именно, У. о. - оператор вращений гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство) вокруг нулевой точки. Оператор U, отображающий гильбертово пространство Н на себя, называется У. о., если (f, g) = (Uf, Ug)(см. Скалярное произведение) для любых двух векторов f и g из Н. У. о. не изменяет длин векторов в Н и углов между ними и является линейным оператором (См. Линейный оператор). Он имеет обратный оператор U1, также являющийся У. о.; при этом U1 = U*, где U* - сопряжённый оператор. Примером У. о. может служить оператор Фурье - Планшереля, ставящий в соответствие каждой функции f (x), - ∞ < х < + ∞, с интегрируемым квадратом модуля функцию

Унитарный оператор         
Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению
Унитарное преобразование         

x'i = ui1x1 + ui2x2 +... + uinxn (i = 1, 2,..., n)

с комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин

У. п. представляет собой аналог (точнее, обобщение) поворота в евклидовой плоскости или вращения в трёхмерном евклидовом пространстве на случай n-мерного комплексного векторного пространства (См. Векторное пространство), т.к. оно сохраняет для преобразуемого вектора х с компонентами x1, x2,..., xn его длину, равную

.

Коэффициенты У. п. образуют унитарную матрицу (См. Унитарная матрица). Совокупность У. п. n-мерного комплексного векторного пространства является группой (См. Группа) относительно умножения преобразований. В случае, когда коэффициенты uij и преобразуемые величины xi действительны, У. п. является ортогональным преобразованием (См. Ортогональное преобразование) n-мерного действительного векторного пространства.

Википедия

Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U {\displaystyle U}  :  H {\displaystyle H}  →  H {\displaystyle H} на гильбертовом пространстве H {\displaystyle H} , который удовлетворяет соотношению

U U = U U = I {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}

где U {\displaystyle U^{*}}  — эрмитово сопряжённый к U {\displaystyle U} оператор, и I {\displaystyle I}  :  H {\displaystyle H}  →  H {\displaystyle H} единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

  1. U {\displaystyle U} сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} в гильбертовом пространстве U x , U y = x , y . {\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}
  2. U {\displaystyle U} — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

  1. U {\displaystyle U} сохраняет скалярное произведение, и
  2. образ U {\displaystyle U}  — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U {\displaystyle U} изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U {\displaystyle U} сохраняет скалярное произведение. Образ U {\displaystyle U}  — плотное множество. Очевидно, что U 1 {\displaystyle U^{-1}} = U {\displaystyle U^{*}} .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

U U = U U = I {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

  • оператор унитарного преобразования всегда обратим
  • если оператор H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} эрмитов, то оператор U ^ = exp ( i H ^ ) {\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})} унитарен.